Да, можно попробовать написать на этом форуме разработчиков. Пробовал на 2-х аналогичных устройствах - проблема одинакова.  Да и этот режим описан на форумах xiaomi и он именно так работает - отключает всё стороннее ПО. Но в любом случае RP55 RP55 благодарю за совет.  

Служба технической поддержки ничего внятного не ответила, обращался с приложения, потом и на указанную Вами почту.  Они просто присылают инструкцию по правильной настройке.  Но настроено всё правильно, просто Eset Parental Control  не учитывает наличие режима ультра энергосберижения в смартфонах Xiaomi,  о чём также им написал.  На что вообще не последовало никакого ответа. Похоже разбираться с этой проблемой у них нет никакого желания.

На новых прошивках указанных смартфонов на базе miui 11 b miui 12 появился этот режим  ультра энергосберижения, вкратце он описан тут https://ru.c.mi.com/thread-1882127-1-0.html - это форум xiaomi.  В этом режиме ,  а программа Eset Parental Control на устройстве ребёнка никак не блокирует его включение!, система смартфона оставляет только некоторые системные приложения, а также даёт возможность ребёнку добавить свои: т.е. игры, браузеры и т.п., и приложение Eset Parental Control  полностью выгружает их памяти.  При возврате в основной режим опять нужно включать в сервисах Eset Parental Control вручную.   При этом само приложение Eset Parental Control  в обычном режиме настроено корректно, все функции  включены: сервис, автозагрузка, доступ поверх окон и т.п., ограничения по питанию сняты, и работает корректно и надёжно.  Предвидится ли разработчиками Eset Parental Control решение данной проблемы?   Возможно стоит заблокировать выход по кнопке из шторки управления в этот режим ультра энергосберижения?  Иначе смысла использовать Eset Parental Control вообще нет.