Установил пробную версию программы. Купил ключ. И заметил, что программа не запускается! В трек значка нет. Решил восстановить – выдаёт ошибку "Не удалось записать значение ApplicationCode...". То же самое при удалении программы.  

Доброго,

Выполните удаление антивируса согласно информации
https://www.esetnod32.ru/support/knowledge_base/solution/?IBLOCK_ID=53&SECTION_ID=1783&ELEMENT_ID=852896
или https://www.eset.com/ua-ru/support/information/popular-questions/ (10 Пункт.)